Centres étrangers, juin 2021

Partie A - Détermination d'une fonction $f$ et résolution d'une équation différentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par  $f(x)={\text{e}}^x+ax+b{\text{e}}^{-x}$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.
Dans le plan muni d'un repère d'origine $\text{O}$ , on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ ,  représentant  la fonction $f$ , et la tangente $(T)$ à la courbe   $\mathcal{C}$   au point d'abscisse $0$ .

1. Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0)$ et de $f^{\prime }(0)$ .

2. En utilisant l'expression de la fonction $f$ , exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et en déduire la valeur de $b$ .

3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.
    a. Donner, pour tout réel $x$ , l'expression de $f^{\prime }(x)$ .
    b. Exprimer $f^{\prime }(0)$ en fonction de $a$ .
    c. En utilisant les questions précédentes, déterminer $a$ , puis en déduire l'expression de $f(x)$ .

4. On considère l'équation différentielle  $(E)$  : $y^{\prime }+y=2{\text{e}}^x-x-1$ .
    a. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par  $g(x)={\text{e}}^x-x+2{\text{e}}^{-x}$  est solution de l'équation $(E)$ .
    b. Résoudre l'équation différentielle $y^{\prime }+y=0$ .
    c. En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$ .

Partie B - Étude de la fonction g sur $[1;+\mathrm{\infty }[$

1. Vérifier que, pour tout réel $x$ , on a  ${\text{e}}^{2x}-{\text{e}}^x-2=({\text{e}}^x-2)({\text{e}}^x+1)$ .

2. En déduire une expression factorisée de $g^{\prime }(x)$ , pour tout réel $x$ .

3. On admettra que, pour tout $x\in [1;+\mathrm{\infty }[$ , ${\text{e}}^x-2>0$ . Étudier le sens de variation de la fonction   $g$   sur  $[1;+\mathrm{\infty }[$ .