Centres étrangers, juin 2021

Partie A - Détermination d'une fonction \(f\) et résolution d'une équation différentielle

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par  \(f(x) = \text e^x+ ax + b\text e^{-x}\) , où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.
Dans le plan muni d'un repère d'origine \(\text O\) , on a représenté ci-dessous la courbe \(\mathscr{C}\) ,  représentant  la fonction \(f\) , et la tangente \((T)\) à la courbe   \(\mathscr{C}\)   au point d'abscisse \(0\) .

1. Par lecture graphique, donner les valeurs de \(f(0)\) et de \(f'(0)\) .

2. En utilisant l'expression de la fonction \(f\) , exprimer \(f(0)\) en fonction de \(b\) et en déduire la valeur de \(b\) .

3. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée.
    a. Donner, pour tout réel \(x\) , l'expression de \(f'(x)\) .
    b. Exprimer \(f'(0)\) en fonction de \(a\) .
    c. En utilisant les questions précédentes, déterminer \(a\) , puis en déduire l'expression de \(f(x)\) .

4. On considère l'équation différentielle  \((E)\)  : \(y' +y =2\text e^x - x - 1\) .
    a. Vérifier que la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par  \(g(x) = \text e^x - x + 2\text e^{-x}\)  est solution de l'équation \((E)\) .
    b. Résoudre l'équation différentielle \(y' + y = 0\) .
    c. En déduire toutes les solutions de l'équation \((E)\) .

Partie B - Étude de la fonction g sur \([1~;+\infty[\)

1. Vérifier que, pour tout réel \(x\) , on a  \(\text e^{2x} - \text e^x - 2 = \left(\text e^x - 2\right)\left(\text e^x + 1\right)\) .

2. En déduire une expression factorisée de \(g'(x)\) , pour tout réel \(x\) .

3. On admettra que, pour tout \(x \in [1~; +\infty[\) , \(\text e^x - 2 > 0\) . Étudier le sens de variation de la fonction   \(g\)   sur  \([1~;+\infty[\) .